1 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Как решить магический квадрат: учимся решать одну из древнейших задач

Как решить магический квадрат: учимся решать одну из древнейших задач

Магический квадрат представляет собой квадратную таблицу с числами, построенную так, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и в каждой диагонали равна одному и тому же числу (магическая сумма). Магические квадраты бывают разных порядков — порядок квадрата определяет число столбцов/строк. Как рассчитать и решать магические квадраты?

Квадрат нечётного порядка

Среди несложных магических квадратов по математике выделяют разновидности чётного и нечётного порядка. Первая группа подразделяется на таблицы одинарной и двойной чётности.

Начальным шагом во всех случаях будет определение магической константы. Делается это с помощью специальной формулы [n * (n2 + 1)] / 2. Разобраться с принципом решения задачи этого класса можно на самом простом примере. Для этого выстраивается таблица из 9 ячеек. В неё нужно расставить цифры от 1 до 9. Дальнейший алгоритм:

  1. Подсчитывается сумма, которая должна получиться в каждой строке. Для этого используется формула: 3 * (32 +1) / 2 = 3 * 10 / 2. Ответом будет число 15.
  2. Числа в ячейках расставляются так, чтобы сумма их была равна 15 в каждой строчке. Это требует смекалки и воображения.
  3. В средней клетке верхней строки вписывается 1.
  4. Каждое следующее число ставится справа по диагонали вверх. Поставить цифру 2 нельзя, так как выше нет строк. Если мысленно добавить сверху ещё один квадрат, цифра 2 окажется в его нижнем правом углу. Значит, цифра 2 вписывается в нижнюю правую клетку.
  5. По тому же принципу вписывается цифра 3. Она попадает в среднюю ячейку слева.
  6. Если нужная клетка уже занята, очередной символ вписывается ниже предыдущего. Таким образом, 4 ставится под 3.
  7. Записывается цифра 5 по диагонали вправо и вверх, а 6 в верхний угол справа.
  8. Поскольку место цифры 7 уже занято, она вписывается ниже 6.
  9. Восьмёрка занимает место в левом нижнем углу.
  10. Оставшуюся клетку занимает девятка.

Общий алгоритм выполнения задания: каждый следующий знак пишется вверх и правее. Если там нет клетки — дорисовывается ещё один воображаемый квадрат. Если ячейка занята — число записывается ниже предыдущего. Таким способом можно составить любой квадрат нечётного порядка, включая самые сложные, с больши́м числом ячеек.

Квадрат нечётного порядка

Среди несложных магических квадратов по математике выделяют разновидности чётного и нечётного порядка. Первая группа подразделяется на таблицы одинарной и двойной чётности.

Начальным шагом во всех случаях будет определение магической константы. Делается это с помощью специальной формулы [n * (n2 + 1)] / 2. Разобраться с принципом решения задачи этого класса можно на самом простом примере. Для этого выстраивается таблица из 9 ячеек. В неё нужно расставить цифры от 1 до 9. Дальнейший алгоритм:

  • Подсчитывается сумма, которая должна получиться в каждой строке. Для этого используется формула: 3 * (32 +1) / 2 = 3 * 10 / 2. Ответом будет число 15.
  • Числа в ячейках расставляются так, чтобы сумма их была равна 15 в каждой строчке. Это требует смекалки и воображения.
  • В средней клетке верхней строки вписывается 1.
  • Каждое следующее число ставится справа по диагонали вверх. Поставить цифру 2 нельзя, так как выше нет строк. Если мысленно добавить сверху ещё один квадрат, цифра 2 окажется в его нижнем правом углу. Значит, цифра 2 вписывается в нижнюю правую клетку.
  • По тому же принципу вписывается цифра 3. Она попадает в среднюю ячейку слева.
  • Если нужная клетка уже занята, очередной символ вписывается ниже предыдущего. Таким образом, 4 ставится под 3.
  • Записывается цифра 5 по диагонали вправо и вверх, а 6 в верхний угол справа.
  • Поскольку место цифры 7 уже занято, она вписывается ниже 6.
  • Восьмёрка занимает место в левом нижнем углу.
  • Оставшуюся клетку занимает девятка.

    Читать еще:  Мы становимся религиозно грамотными, но теряем доброту и любовь к людям

    Общий алгоритм выполнения задания: каждый следующий знак пишется вверх и правее. Если там нет клетки — дорисовывается ещё один воображаемый квадрат. Если ячейка занята — число записывается ниже предыдущего. Таким способом можно составить любой квадрат нечётного порядка, включая самые сложные, с больши́м числом ячеек.

    Минимально возможные суммы магического квадрата

    Постоянные значения M суммы магических квадратов имеют минимальное значение (для положительных ненулевых целочисленных значений):

    Для размера 3×3 минимальная сумма равна 15, для 4×4 — 34, для 5×5 — 65, для 6×6 — 111, затем 175, 260, …

    Все, что меньше, вынуждает использовать отрицательные числа или дроби (не целые числа) для решения магического квадрата.

    Пример конкурсного задания 1

    Отличник Вася решил нарисовать на своей футболке магический квадрат, с помощью которого он зашифровал фразу:

    У него получилось (без пробела)

    Ч Н О Я И К И Т Л

    К сожалению, младшая сестра Васи закрасила все числа от 1 до 9 фломастерами.

    Какое число должно стоять в левом нижнем углу квадрата?

    Впиши число цифрами в поле для ввода:

    Подсказка: при решении нужно учесть, что буква И в шифровке встречается два раза.

    Как работает магический квадрат? Упрощенные квадратные корни.

    Предмет математики настолько серьезен, что нужно не упускать случая делать его немного занимательным.

    § 1. Магические квадраты. Исторические сведения

    Среди различных занимательных вопросов теории чисел одним из интереснейших являются вопросы, связанные с магическими (волшебными) квадратами.

    Тайна древнего талисмана

    В Европе они появились в XIV веке. Или в XV . Мнения расходятся. Но и так, и этак – давние были времена.

    Еще до своего появления в Европе они существовали века и десятки веков. Неизвестно, какая из древних цивилизаций была их родиной, неизвестна страна, неизвестен век, даже тысячелетие нельзя установить точно. Известно только, что эти талисманы появились до нашей эры и что их родиной был Древний Восток.

    С незапамятных времен, научившись считать, люди познали меру количества – число. Вглядываясь в сочетания чисел, они с изумлением увидели, что числа имеют какую-то самостоятельную жизнь, удивительную и полную тайны; тайны необъяснимой и поэтому загадочной и многозначительной.

    Читать еще:  Молитвы о семье святым: тексты о поиске и сохранении любви, благополучии в семье, зачатии, беременности и детях

    Оказалось, что, складывая различные числа, можно получить одно и то же число. Оказалось также, что, располагая эти числа правильными рядами, один под другим, в случае удачи, можно, складывая числа слева направо и сверху вниз, каждый раз получать одно и то же число. Наконец, кто-то придумал разделить числа линиями так, что каждое число оказалось в отдельной клетке. Так посвященные увидели квадрат, населенный числами, неизвестно что сулящий его владельцу, но, конечно, обладающий магической силой. Квадрат можно было резцом высечь на камне, тростниковым камышом написать на пергаменте, кончиком кисти, смоченным в растертой туши, нарисовать на бумаге, рыхлой и слабой.

    Квадрат можно было продать верующим. Зашитый в ладанку, он становился амулетом и (конечно!) защитой его владельца от всякого зла.

    В Китае квадрат 3х 3 называют Ло-Шу. И по сей день его можно увидеть на амулетах, которые носят в Восточной Азии и в Индии, и на многих пассажирских судах, где он украшает крышки столиков для карточных игр.

    Некоторые представления о том, каких фантастических размеров достигали сочинения о магических квадратах (предмете, не имеющем сколько-нибудь принципиального значения), можно получить из того факта, что французский трактат на эту тему, выпущенный в 1838 году, когда о магических квадратах было известно намного меньше, чем теперь, вышел в трех объемистых томах.

    С давних времен и поныне исследование магических квадратов процветало как своеобразный культ, часто не без мистического тумана. Среди лиц, занимавшихся их изучением, были и известные математики, как Артур Кели и Освальд Веблен, Леонард Эйлер и такие любители, как, например, Бенджамин Франклин.

    Магический квадрат – это квадрат, разделенный на клетки (их количество одинаково по горизонтали и вертикали). Клетки заполнены числами от 1 до n 2 (nпорядок квадрата, то есть количество клеток по горизонтали или по вертикали) так, что сумма чисел во всех горизонтальных, вертикальных рядах и на главных диагоналях равна одному и тому же числу. Это число называется магической суммой (постоянной) квадрата и вычисляется по формуле:

    Магических квадратов порядка 2 не существует, а порядка 3 существует только один (если не считать магических квадратов, получающихся из него при поворотах и отражениях), постоянная которого равна 15.

    Как только переходим к порядку 4, сложность магических квадратов резко возрастает. Если и на этот раз не считать различными квадраты, которые можно перевести друг в друга поворотами и отражениями, то различных магических квадратов будет ровно 880 типов, причем многие из них будут даже «более магическими», чем это требуется по определению магического квадрата.

    В начале XVI века магический квадрат был увековечен в искусстве. Знаменитый немецкий художник и гравер Альбрехт Дюрер выпустил в 1514 году гравюру, названную им «Меланхолия». На заднем плане гравюры, над фигурой крылатой женщины в одежде горожанки, помещен магический квадрат четвертого порядка.

    Во времена Дюрера меланхолический темперамент считался свойственным творческому гению, он был уделом ученых мужей, «чья бледность – печать глубокой мысли». Прекрасная женщина Меланхолия на гравюре Дюрера, возможно, олицетворяет гений человеческой мысли, человеческого труда. Именно ему (гению) угрожает планета меланхоликов Сатурн.

    Читать еще:  Духовная культура в философии. Духовная культура и философия xiх века Философия как отрасль духовной культуры

    Астрологи эпохи Возрождения связывали магические квадраты четвертого порядка с Юпитером. Такие квадраты считались действенным средством от меланхолии (поскольку Юпитер и Сатурн, если верить астрологам, враждовали между собой).

    Вот поэтому в правом верхнем углу гравюры Дюрера изображен магический квадрат именно четвертого порядка.

    Дюреровский квадрат симметричен, так как сумма любых двух входящих в него чисел, расположенных симметрично относительно его центра, равна 17.

    Способ построения симметричных квадратов очень прост: вписать по порядку числа от 1 до 16 в клетки квадрата 4 ´ 4, а затем поменять местами числа, расположенные на главных диагоналях, относительно центра, и симметричный квадрат готов.

    Дюрер переставил у своего квадрата два соседних столбца (что не повлияло на свойства квадрата) так, что числа в двух средних клетках нижней строки стали указывать дату создания гравюры: 1514.

    Древнейший из дошедших до нас квадратов четвертого порядка был обнаружен в надписи XI или XII века, найденной в Кхадружен (Индия). Этот магический квадрат относится к разновидности так называемых «дьявольских» квадратов.

    Так что же определяет интерес к магическим квадратам в наше время?

    А. Обри: «. ценность теории определяется не только возможностью ее практического использования, для которого она разработана, но также ее способностью воспитывать наш ум, доставлять ему питание, поддерживающее его жизнь, везде отыскивать новые истины и выяснять их значение без помощи извне. С этой точки зрения изучение магических квадратов, не требуя глубоких знаний, представляет собой превосходную умственную гимнастику, развивающую способность понимать идеи разрешения, сочетания, симметрии, обобщения и т. д. Можно сказать, что эта умственная гимнастика включает такие теоретические построения, занимаясь которыми упражняется ум.

    С другой стороны, . естественная красота, которую содержат магические квадраты, многократно встречающаяся и разнообразная, достаточна для того, чтобы привлечь любителей. »

    § 2. Классические алгоритмические методы построения магических квадратов

    2.1. Индийский метод построения магических квадратов нечетного порядка

    1 ° . Числа от 1 до n 2 поочередно вписываются в клетки основного квадрата.

    2 ° . Если некоторое правило требует вписать данное число в клетку, лежащую вне основного квадрата, то вместо этого рассматриваемое число вписывается в эквивалентную клетку основного квадрата.

    3 ° . Число 1 вписывается в среднюю клетку верхнего ряда, то есть в клетку с координатами (m, 2m).

    4 ° . Если число z вписано в клетку с координатами (х, у), то следующее число z+1 вписывается в клетку с координатами (х+1, у+1), то есть в клетку, смежную с клеткой (х, у), в направлении восходящей диагонали (при условии, что эта последняя клетка еще свободна от чисел).

    5 ° . Если клетка с координатами (х+1, у+1) уже занята некоторым числом, то число z+1 вписывается в клетку с координатами (х, у-1), то есть в клетку, непосредственно примыкающую снизу к клетке (х, у).

    На рисунке изображен магический квадрат третьего порядка. Для ясности на этом рисунке заполнены также некоторые клетки вне основного квадрата.

  • Ссылка на основную публикацию
    Статьи c упоминанием слов:
    Adblock
    detector